งานอาจาร์ยเสาวนีย์ : หาโจทย์ควาน่าจะเป็น

1.  กล่อง ใบหนึ่งมีลูกบอลขนาดเดียวกัน 5 ลูก เป็นลูกบอลสีขาว 3 ลูก และ สีดำ 2 ลูก หยิบลูกบอลจากกล่องนี้อย่างสุ่มมา 2 ลูก โดยเมื่อหยิบลูกบอลลูกแรก แล้วไม่ใส่คืนกล่องตามเดิม จงหาความน่าจะเป็นที่หยิบลูกบอลได้ สีดำ ทั้งสองลูก

 วิธีทำ      ให้ ก เป็นเหตุการณ์ที่หยิบลูกบอลลูกแรกเป็นสีดำ

                  ให้ ข เป็นเหตุการณ์ที่หยิบลูกบอลลูกที่สองเป็นสีดำ

หลังจากหยิบลูกบอลลูกแรกแล้ว

เพราะฉะนั้น P(ก)= 2/5 และ P(ข l ก) = ¼

เนื่องจาก P(ก อินเตอร์เซก ข ) เท่ากับ P(ก)* P(ข l ก) = 2/5*1/4 = 1/10

ตอบ          เพราะฉะนั้น ความน่าจะเป็น ที่หยิบลูกบอลได้สีดำทั้งสองครั้ง 1/10


2.  แดงบอก เพื่อนคนหนึ่งของเขาว่า เขาเกิดในเดือนธันวา โดยที่วันเกิดของเขามีเลข 3 เป็นตัวประกอบ เขาได้ให้เพื่อนของเขาทายวันที่เขาเกิด อยากทราบว่าความน่าจะเป็นที่เพื่อนของเขาจะทายถูกเป็นอย่างไร 
วิธีทำ   S         =  { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 }

                N(S)       =  10

                N(E)       =   1

ตอบ    เพราะฉะนั้น  P(E)             =   1/10

3. กล่องใบหนึ่งมีบัตรอยู่ 5 ใบ หมายเลข 1,2,3,4,5 หยิบบัตร 2 ใบ โดยหยิบทีละใบ แบบไม่คืนที่ให้ X เป็นหมายเลขบัตรใบแรกที่หยิบได้ และ Y เป็นหมายเลขบัตรที่ 2 ที่หยิบได้ ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ X น้อยกว่า Y และ 4 น้อยกว่า XY น้อยกว่า 12 เท่ากับเท่าไร
วิธีทำ  กล่องใบหนึ่งมีบัตรอยู่ 5 ใบหมายเลข 1,2,3,4,5 หยิบบัตร 2 ใบ โดยหยิบทีละใบ แบบไม่คืน

                แสดงว่า n(S) = 5,4 = 20

                สมมุติให้   X   แทนหมายเลขบัตรใบแรกที่หยิบได้

                และ          Y   แทนหมายเลขบัตรใบที่สองที่หยิบได้

                X  น้อยกว่า Y และ 4 น้อยกว่า XY น้อยกว่า 12  แสดงว่ามีกรณีที่เกิดได้ดังนี้

                กรณีที่1  X  =  1    และ        Y  =  5  ทำได้ 1 วิธี

กรณีที่2  X  =  2    และ        Y  =  3 ทำได้ 1 วิธี

กรณีที่3  X  =  2    และ        Y  =  4 ทำได้ 1 วิธี

กรณีที่4  X  =  2    และ        Y  =  5 ทำได้ 1 วิธี                                               

แสดงว่า    n(E)     =             1 + 1 + 1 + 1 = 4

จากสูตร   P(E)     =             n(E)/n(S)

                                =             4/20

ดังนั้น    P(E)       =             1/5

     4.  ในการเลือกประธาน รองประธาน และเหรัญญิก  จากนร.ชาย 6คน และนร.หญิง 4 คน  ซึ่งมีนายกำธรรวมอยู่ด้วย  ความน่าจะเป็นที่การเลือกครั้งนี้นายกำธรได้เป็นประธานนักเรียน  และมีนร.หญิงได้รับเลือกอย่างน้อยหนึ่งคนเท่ากับเท่าไร

วิธีทำ      1.             การเลือกประธาน รองประธาน และเหรัญญิก  จากนร.ชาย 6คน และนร.หญิง 4 คน  ซึ่งมีนายกำธรรวมอยู่ด้วย  ทำได้  ¹⁰P₃  =     720  วิธี

                                แสดงว่า  n(S) =   720

                2.             การเลือกครั้งนี้นายกำธรได้เป็นประธาน  และมีนักเรียนหญิงได้รับเลือกอย่างน้องหนึ่งแบ่งเป็น 2 กรณี

                                กรณีที่ 1 ได้นายกำธรเป็นประธาน  ได้นักเรียนหญิง 1 คน  และนักเรียนชาย  1  คน

                                                ขั้นที่1  ได้นายกำธรเป็นประธาน  ทำได้ 1วิธี

                                                ขั้นที่2   ได้นักเรียนหญิง 1 คน   ทำได้ ⁴C₁

                                                ขั้นที่3    ได้นักเรียนชาย 1 คน(ไม่รวมนายกำธร)ทำได้ ⁵C₁

                        ขั้นที่4    สนใจตำแหน่งของนักเรียนหญิงและนักเรียนชาย  ว่าใครจะเป็นรอง

ประธานหรือเหรัญญิก  ทำได้ 2 วิธี

                จะได้  กรณีที่ 1  ทำได้ 1 * ⁴C₁* ⁵C₁ * 2 = 40 วิธี

                                กรณีที่ 2 ได้นายกำธรเป็นประธาน  ได้นักเรียนหญิง 2คน 

                                                ขั้นที่1    ได้นายกำธรเป็นประธาน  ทำได้ 1วิธี

                                                ขั้นที่2     ได้นักเรียนหญิง 2คน  (สนใจตำแหน่ง)  ทำได้  ⁴P₂  วิธี

                                                     จะได้   กรณีที่ 2    ทำได้        1 * ⁴P₂  =  12 วิธี

                                                                แสดงว่า  n(E)       =       40+12          =    52

                                                                จากสูตร  P(E)      =       n(E) / n(S)     =  52 / 720

                                                                จะได้      P(E)       =       13 / 180

                ดังนั้น   ความน่าจะเป็นที่การเลือกครั้งนี้  นายกำธรได้เป็นประธานนักเรียน  และมีนักเรียนหญิงได้รับเลือกอย่างน้อยหนึ่งคนเท่ากับ 13 /180


   5.  กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีดำ 4 ลูก  และสีแดง  6  ลูก   ถ้าสุ่มหยิบลูกบอลจากกล่องใบนี้มา  3  ลูก  ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีละอย่าน้อย 1 ลูก เท่ากับเท่าไร

วิธีทำ  1. การสุ่มหยิบลูกบอล 3 ลูก  จากลูกบอลทั้งหมด 10 ลูก ทำได้  n(s)=    ¹⁰C₃  = 120 วิธี

                2. การสุ่มหยิบลูกบอลทีละอย่างน้อยหนึ่งลูก  แบ่งได้ 2 กรณี ดังนี้ 

กรณีที่ 1 ได้ลูกบอลสีดำ 1 ลูก  และ สีแดง 2 ลูก

                ขั้นตอนที่ 1 หยิบได้ลูกบอลสีดำ 1 ลูก จากลูกบอลสีดำทั้งหมด  4 ลูก ได้เป็น ⁴C₁ = 4 วิธี

                ขั้นตอนที่ 2  หยิบลูกบอลสีแดง 2 ลูก จากทั้งหมด 6 ลูก   ได้เป็น   6c2 = 15 วิธี

                                จะได้กรณีที่ 1 สามารถหยิบได้ 4*15 = 60 วิธี

กรณีที่2  หยิบได้บอลสีดำ 2 ลูก และสีแดง 1 ลูก

                ขั้นตอนที่ 1 สีดำ 2 ลูก  จากบอลสีดำ 4 ลูก ได้เป็น  4c2 = 6วิธี

                ขั้นตอนที่ 2 หยิบลูกบอลสีแดง 1 ลูก จากลูกบอลสีแดง 6 ลูก ได้เป็น 6c1  = 6 วิธี

                                จะได้กรณีที่ 2 สามารถหยิบได้ 6*6 = 36 วิธี

แสดงว่า n(e) = 60+36 = 96

จะได้ p(e) = 0.8